Arithmétique et nombres
L’arithmétique fournit le langage numérique indispensable aux pourcentages, à l’algèbre et aux statistiques.
Objectifs du cours
- Lire et comparer différents types de nombres.
- Calculer avec les quatre opérations.
- Utiliser fractions et décimaux.
- Reconnaître multiples, diviseurs et nombres premiers.
Les familles de nombres
Les nombres se distinguent par les situations qu’ils permettent de représenter.
Nombre naturel
Nombre entier positif ou nul utilisé pour compter.
Ils forment l’ensemble 0, 1, 2, 3, etc.
On compte 24 élèves avec un nombre naturel.
Un nombre négatif n’est pas naturel.
Nombre naturel — nombre entier positif ou nul utilisé pour compter.
Entier relatif
Nombre entier positif, négatif ou nul.
Les relatifs permettent de représenter une position par rapport à une origine.
−3 °C est représenté par un entier négatif.
Le signe moins n’est pas une opération lorsqu’il fait partie du nombre.
Entier relatif — nombre entier positif, négatif ou nul.
Nombre décimal
Nombre possédant une écriture décimale finie.
Il peut être écrit comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix.
Tous les nombres rationnels ne possèdent pas une écriture décimale finie.
Nombre décimal — nombre possédant une écriture décimale finie.
Ce qu’il faut comprendre
Choisir le bon ensemble de nombres aide à interpréter correctement un résultat.
Les quatre opérations
Chaque opération répond à une question différente et possède des propriétés utiles.
Addition
Opération qui réunit des quantités ou calcule une variation totale.
Elle est commutative et associative.
Additionner des grandeurs exige des unités compatibles.
Addition — opération qui réunit des quantités ou calcule une variation totale.
Multiplication
Addition répétée ou changement d’échelle par un facteur.
Elle est commutative et distributive sur l’addition.
6 × 4 représente six groupes de quatre.
Multiplier ne rend pas toujours plus grand, par exemple avec un facteur entre 0 et 1.
Multiplication — addition répétée ou changement d’échelle par un facteur.
Division
Opération de partage ou de mesure du nombre de fois qu’une quantité en contient une autre.
Elle est l’opération inverse de la multiplication lorsque le diviseur est non nul.
La division par zéro n’est pas définie.
Division — opération de partage ou de mesure du nombre de fois qu’une quantité en contient une autre.
Ce qu’il faut comprendre
Comprendre le sens des opérations évite d’appliquer mécaniquement une formule.
Fractions et décimaux
Une fraction représente un quotient et peut être comparée, simplifiée ou convertie.
Fraction
Écriture a/b d’un quotient, avec b non nul.
Le numérateur compte les parts et le dénominateur indique en combien de parts égales l’unité est divisée.
3/4 représente trois parts sur quatre.
Le dénominateur ne peut pas être zéro.
Fraction — écriture a/b d’un quotient, avec b non nul.
Fraction équivalente
Fraction obtenue en multipliant ou divisant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.
Modifier un seul des deux termes change la valeur.
Fraction équivalente — fraction obtenue en multipliant ou divisant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.
Simplification
Réduction d’une fraction en divisant ses deux termes par un diviseur commun.
Une fraction irréductible n’a plus de diviseur commun supérieur à 1.
18/24 se simplifie en 3/4.
Simplifier n’est pas soustraire le même nombre au numérateur et au dénominateur.
Simplification — réduction d’une fraction en divisant ses deux termes par un diviseur commun.
Ce qu’il faut comprendre
Les conversions fraction-décimal-pourcentage décrivent une même proportion sous trois écritures.
Priorités et calcul réfléchi
Un calcul avec plusieurs opérations se lit selon des conventions partagées.
Priorité opératoire
Règle fixant l’ordre des calculs dans une expression.
On traite parenthèses, puissances, multiplications/divisions puis additions/soustractions.
3 + 2 × 5 = 13 et non 25.
Ne pas calculer systématiquement de gauche à droite.
Priorité opératoire — règle fixant l’ordre des calculs dans une expression.
Distributivité
Elle permet de développer ou factoriser et facilite le calcul mental.
7 × 19 = 7 × (20 − 1) = 133.
La multiplication ne se distribue pas sur une multiplication de la même manière.
Distributivité — propriété a(b + c) = ab + ac.
Ordre de grandeur
Valeur approximative permettant de contrôler la plausibilité d’un résultat.
Arrondir les données donne une estimation rapide.
49 × 21 est proche de 50 × 20 = 1000.
Une estimation ne remplace pas le calcul exact lorsqu’il est demandé.
Ordre de grandeur — valeur approximative permettant de contrôler la plausibilité d’un résultat.
Ce qu’il faut comprendre
Le contrôle d’ordre de grandeur repère de nombreuses erreurs de touche ou de virgule.
Divisibilité et nombres premiers
La structure multiplicative des entiers sert à simplifier, décomposer et résoudre des problèmes.
Diviseur
Entier qui partage un autre entier sans reste.
Si a divise b, il existe un entier k tel que b = ak.
6 est un diviseur de 42.
Un nombre peut avoir plusieurs diviseurs.
Diviseur — entier qui partage un autre entier sans reste.
Multiple
Résultat de la multiplication d’un entier par un autre.
Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5 en base dix.
35 est un multiple de 5 et de 7.
Diviseur et multiple décrivent des relations inverses.
Multiple — résultat de la multiplication d’un entier par un autre.
Nombre premier
Entier supérieur à 1 ayant exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Les nombres premiers sont les briques de la décomposition des entiers.
2, 3, 5 et 7 sont premiers.
1 n’est pas un nombre premier.
Nombre premier — entier supérieur à 1 ayant exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Ce qu’il faut comprendre
La décomposition en facteurs premiers est unique à l’ordre des facteurs près.
Références utilisées
Vérifier les connaissances acquises
Le test intervient après l’ensemble du cours. Il évalue la compréhension, les liens entre les chapitres et la capacité à appliquer les notions sans reprendre mécaniquement les formulations du texte.
Commencer le test final →Ce cours est une synthèse pédagogique destinée à l’apprentissage. Vérifiez les sources citées pour approfondir et tenez compte de la date de mise à jour des connaissances.