Algèbre : expressions et inconnues
L’algèbre représente des relations générales grâce à des lettres. Elle permet de traduire une situation, de simplifier une expression et de rechercher une inconnue.
Objectifs du cours
- Lire une expression littérale.
- Réduire et développer une expression.
- Résoudre une équation du premier degré.
- Modéliser un problème simple.
Pourquoi utiliser des lettres ?
Une variable représente une valeur inconnue ou susceptible de changer.
Variable
Symbole représentant un nombre inconnu ou variable.
Sa signification doit être définie dans le contexte.
x peut représenter le prix d’un billet.
Une même lettre doit garder le même sens dans un calcul donné.
Variable — symbole représentant un nombre inconnu ou variable.
Expression littérale
Combinaison de nombres, variables et opérations.
Elle n’affirme pas une égalité tant qu’aucun signe égal n’est présent.
3x + 5 est une expression.
Une expression n’est pas automatiquement une équation.
Expression littérale — combinaison de nombres, variables et opérations.
Coefficient
Dans 7x, le coefficient de x est 7.
Dans −2y, le coefficient est −2.
Dans x, le coefficient implicite est 1.
Coefficient — nombre qui multiplie une variable.
Ce qu’il faut comprendre
Les lettres condensent une règle générale et évitent de refaire le raisonnement pour chaque valeur.
Réduire et calculer une expression
On simplifie en regroupant uniquement les termes de même nature.
Terme semblable
Terme possédant la même partie littérale.
Seuls les coefficients de termes semblables peuvent être additionnés.
3x + 5 ne se réduit pas en 8x.
Terme semblable — terme possédant la même partie littérale.
Réduction
Écriture plus simple d’une expression en regroupant les termes semblables.
Elle conserve la valeur de l’expression.
2a + 3 − a + 4 = a + 7.
Réduire n’est pas supprimer arbitrairement des termes.
Réduction — écriture plus simple d’une expression en regroupant les termes semblables.
Substitution
Remplacement d’une variable par une valeur donnée.
Il faut respecter les parenthèses, surtout pour une valeur négative.
Pour x = −2, x² vaut (−2)² = 4.
Écrire −2² sans parenthèses donne −4 selon les priorités.
Substitution — remplacement d’une variable par une valeur donnée.
Ce qu’il faut comprendre
La réduction simplifie la forme ; la substitution permet d’obtenir une valeur numérique.
Développer et factoriser
La distributivité permet de passer d’un produit à une somme et inversement.
Développement
Transformation d’un produit en somme grâce à la distributivité.
On multiplie chaque terme de la parenthèse.
3(x + 4) = 3x + 12.
Oublier un terme de la parenthèse est une erreur fréquente.
Développement — transformation d’un produit en somme grâce à la distributivité.
Factorisation
Transformation d’une somme en produit en mettant un facteur commun en évidence.
C’est l’opération inverse du développement.
6x + 9 = 3(2x + 3).
Le facteur doit diviser chaque terme.
Factorisation — transformation d’une somme en produit en mettant un facteur commun en évidence.
Double distributivité
Développement du produit de deux sommes.
Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.
(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
Ne pas multiplier seulement les premiers et derniers termes.
Double distributivité — développement du produit de deux sommes.
Ce qu’il faut comprendre
Développer facilite parfois le calcul ; factoriser révèle une structure ou résout un produit nul.
Résoudre une équation
Résoudre consiste à trouver les valeurs qui rendent une égalité vraie.
Équation
Égalité contenant une ou plusieurs inconnues.
Une solution vérifie l’égalité après substitution.
2x + 3 = 11 a pour solution x = 4.
Le signe égal ne signifie pas « calculer ce qui suit » mais égalité des deux membres.
Équation — égalité contenant une ou plusieurs inconnues.
Transformation équivalente
Opération effectuée sur les deux membres sans changer l’ensemble des solutions.
On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
Soustraire 3 des deux côtés de 2x + 3 = 11 donne 2x = 8.
Diviser par une expression pouvant être nulle exige une précaution.
Transformation équivalente — opération effectuée sur les deux membres sans changer l’ensemble des solutions.
Vérification
Substitution de la solution obtenue dans l’équation initiale.
Elle détecte les erreurs de calcul ou les solutions interdites.
Pour x = 4, 2×4 + 3 = 11.
Une solution trouvée n’est pas fiable sans contrôle dans les problèmes complexes.
Vérification — substitution de la solution obtenue dans l’équation initiale.
Ce qu’il faut comprendre
L’équilibre de l’équation est conservé en effectuant la même opération sur les deux membres.
Modéliser un problème
L’algèbre transforme une situation verbale en relation calculable.
Inconnue
Grandeur recherchée dans un problème.
Elle doit être définie avec son unité éventuelle.
On pose x = nombre de billets vendus.
Choisir une inconnue trop compliquée peut alourdir le modèle.
Inconnue — grandeur recherchée dans un problème.
Mise en équation
Traduction des relations de l’énoncé en une équation.
Chaque mot important doit correspondre à une opération justifiée.
« Le triple d’un nombre augmenté de 2 vaut 17 » devient 3x + 2 = 17.
« Le triple de la somme » donnerait 3(x + 2), ce qui est différent.
Mise en équation — traduction des relations de l’énoncé en une équation.
Interprétation
Retour de la solution mathématique au contexte initial.
On vérifie unité, plausibilité et contraintes.
Une solution x = 5 peut signifier cinq billets, si x a été défini ainsi.
Une solution négative peut être mathématiquement correcte mais impossible dans le contexte.
Interprétation — retour de la solution mathématique au contexte initial.
Ce qu’il faut comprendre
Un modèle est utile seulement si ses hypothèses et la signification des variables sont explicites.
Références utilisées
Vérifier les connaissances acquises
Le test intervient après l’ensemble du cours. Il évalue la compréhension, les liens entre les chapitres et la capacité à appliquer les notions sans reprendre mécaniquement les formulations du texte.
Commencer le test final →Ce cours est une synthèse pédagogique destinée à l’apprentissage. Vérifiez les sources citées pour approfondir et tenez compte de la date de mise à jour des connaissances.